Systemy pozycyjne

Konwersja liczba całkowitych z systemu dwójkowego do dziesiętnego

Wartość cyfry na określonej pozycji obliczana jest poprzez pomnożenie tej cyfry przez odpowiednią potęgę podstawy systemu (czyli dwójki). Cyfra na zerowej pozycji (licząc od prawej) mnożona jest przez 2⁰ czyli 1, na drugiej przez 2¹ czyli 1, itd.

Przykład

2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰
1   0  1   0   1   1   0
64 + 16 + 4 + 2 = 86

Konwersja liczb całkowitych z systemu dziesiętnego do dwójkowego

Konwersja polega na wielokrotnym całkowitym dzieleniu liczby dziesiętnej przez podstawę systemu. Wynik dzielenia jest wykorzystywany w kolejnym obliczeniu, a reszta z dzielenia staje wchodzi do reprezentacji w systemie dwójkowym. Wynik konwersji to kolejne reszty z dzielenia odczytane w kolejności odwrotnej do ich uzyskania. Najprościej konwersję tę przeprowadzić w słupku, gdzie po prawej wpisuje się kolejne reszty, a poniżej – kolejne wyniki dzielenia całkowitego.

Przykład

101 | 1
 50 | 0
 25 | 1
 12 | 0
  6 | 0
  3 | 1
  1 | 1
  0 |

Wynik: 1100101₂

Konwersja ułamków z systemu dwójkowego do dziesiętnego

Wartość cyfry na określonej pozycji obliczana jest poprzez pomnożenie tej cyfry przez ujemną potęgę podstawy systemu (czyli dwójki). Cyfra na pierwszej pozycji (licząc od lewej) mnożona jest przez 2^-1 czyli 1/2, na drugiej przez 2^-2 czyli 1/4, itd.

Przykład

    2^-1 2^-2 2^-3
0, 1    0    1
1/2 + 1/8 = 5/8

Konwersja ułamków dziesiętnych na system dwójkowy

W przypadku zamiany ułamków dziesiętnych na reprezentację binarną, dokonujemy wielokrotnego mnożenia ułamka przez podstawę systemu, czyli liczbę dwa. Część całkowita uzyskanego wyniku wchodzi staje się elementem reprezentacji binarnej, natomiast część dziesiętna wykorzystywana jest w kolejnym obliczeniu. Wynik odczytywany jest w kolejności zgodnej z wykonywaniem kolejnych mnożeń. Uzyskanie dwukrotnie tej samej wartości oznacza, że ułamek jest okresowy. Obliczenia najlepiej przeprowadzać w słupku (patrz przykład).

Przykład

Zamiana 0,1

 0 | 1
   ,
 0 | 2
 0 | 4
 0 | 8
 1 | 6
 1 | 2
 0 | 4
 0 | 8
 1 | 6
 ...

Wynik 0,0(0011)₂

Konwersja pomiędzy systemami, spośród których podstawa pierwszego jest potęgą podstawy drugiego systemu

Jeżeli podstawa jednego systemu pozycyjnego jest potęgą podstawy drugiego systemu (np. system szesnastkowy i system dwójkowy), to można dokonywać prostej konwersji pomiędzy nimi z pominięciem zamiany na system dziesiętny.

Wiadomo bowiem, że jednej pozycji w systemie o podstawie większej będzie odpowiadało dokładnie tyle pozycji w systemie o podstawie mniejszej ile wynosi potęga podstawy systemu pierwszego (w przypadku systemu szesnastkowego i dwójkowego, jednej pozycji systemu szesnastkowego odpowiadają cztery pozycje systemu dwójkowego).

Dokonując konwersji możemy zatem każdą pozycję lub grupę pozycji konwertować niezależnie.

Przykład

    A    B    C
 1010 1011 1100

ABC₁₆ = 101010111100₂

 1000 0011 0001
    8    3    1

100000110001₂ = 831₁₆